Sat May 30 16:25:01 PDT 1992
REDUCE 3.4.1, 15-Jul-92 ...
1: 1:
2: 2:
(GROEBNER)
3: 3:
Time: 272 ms
4: 4: %Examples of use of Groebner code.
% Example 1, Linz 85.
groebner({q1,
q2**2 + q3**2 + q4**2,
q4*q3*q2,
q3**2*q2**2 + q4**2*q2**2 + q4**2*q3**2,
q6**2 + 1/3*q5**2,
q6**3 - q5**2*q6,
2*q2**2*q6 - q3**2*q6 - q4**2*q6 + q3**2*q5 - q4**2*q5,
2*q2**2*q6**2 - q3**2*q6**2 - q4**2*q6**2 - 2*q3**2*q5*q6
+ 2*q4**2*q5*q6 - 2/3*q2**2*q5**2 + 1/3*q3**2*q5**2
+ 1/3*q4**2*q5**2,
- q3**2*q2**2*q6 - q4**2*q2**2*q6 + 2*q4**2*q3**2*q6 -
q3**2*q2**2*q5 + q4**2*q2**2*q5,
- q3**2*q2**2*q6**2 - q4**2*q2**2*q6**2 + 2*q4**2*q3**2*q6**2
+ 2*q3**2*q2**2*q5*q6 - 2*q4**2*q2**2*q5*q6 + 1/3*q3**2*q2**2
*q5**2 + 1/3*q4**2*q2**2*q5**2 - 2/3*q4**2*q3**2*q5**2,
- 3*q3**2*q2**4*q5*q6**2 + 3*q4**2*q2**4*q5*q6**2
+ 3*q3**4*q2**2*q5*q6**2 - 3*q4**4*q2**2*q5*q6**2
- 3*q4**2*q3**4*q5*q6**2 + 3*q4**4*q3**2*q5*q6**2
+ 1/3*q3**2*q2**4*q5**3 - 1/3*q4**2*q2**4*q5**3
- 1/3*q3**4*q2**2*q5**3 + 1/3*q4**4*q2**2*q5**3 + 1/3*q4**2
*q3**4*q5**3 - 1/3*q4**4*q3**2*q5**3},
{q1,q2,q3,q4,q5,q6});
{Q1,
2 2 2
Q2 + Q3 + Q4 ,
Q2*Q3*Q4,
4
Q2*Q4 *Q6,
3 3
Q2*Q4 *Q5 + 3*Q2*Q4 *Q6,
3 2
Q2*Q4 *Q6 ,
4 2 2 4
Q3 + Q3 *Q4 + Q4 ,
3 3
Q3 *Q4 + Q3*Q4 ,
2 2
Q3 *Q4 *Q6,
2 2 2 2
Q3 *Q5 - 3*Q3 *Q6 - Q4 *Q5 - 3*Q4 *Q6,
2 2 2 2
Q3 *Q6 + Q4 *Q6 ,
4
Q3*Q4 *Q6,
3
Q3*Q4 *Q5,
3 2
Q3*Q4 *Q6 ,
5
Q4 ,
4 4
Q4 *Q5 + Q4 *Q6,
4 2
Q4 *Q6 ,
2 2 2
Q4 *Q5*Q6 - Q4 *Q6 ,
2 2
Q5 + 3*Q6 ,
3
Q6 }
% Example 2. (Little) Trinks problem with 7 polynomials in 6 variables.
polys := {45*p + 35*s - 165*b - 36,
35*p + 40*z + 25*t - 27*s,
15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b**2,
- 9*w + 15*p*t + 20*z*s,
w*p + 2*z*t - 11*b**3,
99*w - 11*s*b + 3*b**2,
b**2 + 33/50*b + 2673/10000};
POLYS := { - 165*B + 45*P + 35*S - 36,
35*P - 27*S + 25*T + 40*Z,
2
- 165*B + 25*P*S - 18*T + 15*W + 30*Z,
15*P*T + 20*S*Z - 9*W,
3
- 11*B + P*W + 2*T*Z,
2
3*B - 11*B*S + 99*W,
2
10000*B + 6600*B + 2673
--------------------------}
10000
vars := {w,p,z,t,s,b};
VARS := {W,
P,
Z,
T,
S,
B}
groebner(polys,vars);
{60000*W + 9500*B + 3969,
1800*P - 3100*B - 1377,
18000*Z + 24500*B + 10287,
750*T - 1850*B + 81,
200*S - 500*B - 9,
2
10000*B + 6600*B + 2673}
groesolve(polys,vars);
- 148*SQRT(11)*I - 461
{{T=-------------------------,
500
190*SQRT(11)*I - 139
W=----------------------,
10000
490*SQRT(11)*I - 367
Z=----------------------,
3000
- 62*SQRT(11)*I + 59
P=-----------------------,
300
3*( - 5*SQRT(11)*I - 13)
S=--------------------------,
50
3*( - 4*SQRT(11)*I - 11)
B=--------------------------},
100
148*SQRT(11)*I - 461
{T=----------------------,
500
- 190*SQRT(11)*I - 139
W=-------------------------,
10000
- 490*SQRT(11)*I - 367
Z=-------------------------,
3000
62*SQRT(11)*I + 59
P=--------------------,
300
3*(5*SQRT(11)*I - 13)
S=-----------------------,
50
3*(4*SQRT(11)*I - 11)
B=-----------------------}}
100
% Example 3. Hairer, Runge-Kutta 1, 6 polynomials 8 variables.
groebnerf({c2 - a21,
c3 - a31 - a32,
b1 + b2 + b3 - 1,
b2*c2 + b3*c3 - 1/2,
b2*c2**2 + b3*c3**2 - 1/3,
b3*a32*c2 - 1/6},
{c2,c3,b3,b2,b1,a21,a32,a31});
{{C2 - A21,
C3 - A32 - A31,
B3 + B2 + B1 - 1,
2 2 2 2
96*B2*B1*A31 - 96*B2*A31 + 96*B2*A31 - 32*B2 - 72*B1 *A32 *A31
2 2 2 2 2 2 3
- 48*B1 *A32 - 144*B1 *A32*A31 - 144*B1 *A32*A31 - 72*B1 *A31
2 2 2
+ 198*B1*A32 *A31 + 60*B1*A32 + 396*B1*A32*A31 + 72*B1*A32*A31
3 2
- 144*B1*A32 + 198*B1*A31 - 108*B1*A31 - 24*B1*A31
2 2
- 81*A21*A32*A31 + 54*A21*A32 - 126*A32 *A31 - 12*A32
2 3 2
- 252*A32*A31 + 126*A32*A31 + 36*A32 - 126*A31 + 162*A31
- 30*A31 - 12,
2
8*B2*A21 - 8*B2*A31 + 6*B1*A32 + 12*B1*A32*A31 + 4*B1*A32
2 2
+ 6*B1*A31 - 4*B1*A31 - 9*A21*A32 - 6*A32 - 12*A32*A31 + 8*A32
2
- 6*A31 + 10*A31 - 2,
2 2
8*B2*A32 + 6*B1*A32 + 12*B1*A32*A31 + 12*B1*A32 + 6*B1*A31
2 2
+ 4*B1*A31 - 9*A21*A32 - 6*A32 - 12*A32*A31 - 6*A31 + 2*A31 + 2,
2 2
12*B1*A21*A32 - 6*B1*A32 - 12*B1*A32*A31 - 6*B1*A31 - 3*A21*A32
2 2
+ 6*A32 + 12*A32*A31 - 6*A32 + 6*A31 - 6*A31 + 2,
2 2
4*B1*A21*A31 + 2*B1*A32 + 4*B1*A32*A31 + 2*B1*A31 - 3*A21*A32
2 2
- 4*A21*A31 + 2*A21 - 2*A32 - 4*A32*A31 + 4*A32 - 2*A31 + 4*A31
- 2,
3 2 2 3
6*B1*A32 + 18*B1*A32 *A31 + 18*B1*A32*A31 + 6*B1*A31
2 3 2
- 9*A21*A32 - 9*A21*A32*A31 + 6*A21*A32 - 6*A32 - 18*A32 *A31
2 2 3 2
+ 12*A32 - 18*A32*A31 + 18*A32*A31 - 6*A32 - 6*A31 + 6*A31
- 2*A31,
2 2 2
3*A21 *A32 - 3*A21*A32 - A21*A31 + A32 + 2*A32*A31 + A31 }}
% Example 4.
torder gradlex;
LEX
g4 :=
groebner({b + e + f - 1,
c + d + 2*e - 3,
b + d + 2*f - 1,
a - b - c - d - e - f,
d*e*a**2 - 1569/31250*b*c**3,
c*f - 587/15625*b*d});
5
G4 := {144534461790680056924571742971580442350868*F
4
- 644899801559202566371326081182412388593750*F
2
- 5642454222593591361522253644740080176968509*E*F
3
+ 1026970650200404602876625225711718032483739*F
+ 60671378319336814425425106786936647125250*E*F
2
+ 12135463840178290842421221291430776956948795*F
+ 82342665293813692270756265387326300721851*E
- 6546572608747272255841866021042619274525791*F
- 455593441982762135422235490670177670637,
3 4
8282838608877853969*E*F - 2667985333760708531*F
2 3
- 315490964385538173*E*F - 8319462093247392142*F
2
- 25594942638053*E*F + 318993777538462620*F
+ 33851175608089*E + 34163367871142*F - 8568425233089,
2 2
587*E - 46875*E*F + 15038*F - 587*E + 47462*F,
A + 2*E - 4,
B + E + F - 1,
C + 3*E - F - 3,
D - E + F}
hilbertpolynomial(g4,gvarslast);
8
% gunivar(e,8,g4,gvarslast);
glexconvert(g4,gvarslast,newvars={e},maxdeg=8);
8 7
{8724935291855297898986*E - 82886885272625330040367*E
6 5
+ 304980377204235125220384*E - 524915947547338451201596*E
4 3
+ 362375013966993813907616*E + 52719473339686639067952*E
2
- 154986762992209058701440*E + 27347344067139574366944*E
+ 430203494102932512}
groebnerf({b + e + f - 1,
c + d + 2*e - 3,
b + d + 2*f - 1,
a - b - c - d - e - f,
d*e*a**2 - 1569/31250*b*c**3,
c*f - 587/15625*b*d});
5
{{144534461790680056924571742971580442350868*F
4
- 644899801559202566371326081182412388593750*F
2
- 5642454222593591361522253644740080176968509*E*F
3
+ 1026970650200404602876625225711718032483739*F
+ 60671378319336814425425106786936647125250*E*F
2
+ 12135463840178290842421221291430776956948795*F
+ 82342665293813692270756265387326300721851*E
- 6546572608747272255841866021042619274525791*F
- 455593441982762135422235490670177670637,
3 4
8282838608877853969*E*F - 2667985333760708531*F
2 3
- 315490964385538173*E*F - 8319462093247392142*F
2
- 25594942638053*E*F + 318993777538462620*F + 33851175608089*E
+ 34163367871142*F - 8568425233089,
2 2
587*E - 46875*E*F + 15038*F - 587*E + 47462*F,
A + 2*E - 4,
B + E + F - 1,
C + 3*E - F - 3,
D - E + F}}
% Example 5.
groesolve({u0**2 - u0 + 2*u1**2 + 2*u2**2 + 2*u3**2,
2*u0*u1 + 2*u1*u2 + 2*u2*u3 - u1,
2*u0*u2 + u1**2 + 2*u1*u3 - u2,
u0 + 2*u1 + 2*u2 + 2*u3 - 1},
{u0,u2,u3,u1});
1 1
{{U3=---,U0=---,U2=0,U1=0},
3 3
{U3=0,U0=1,U2=0,U1=0},
5 4 3 2
{U3=( - 35588322*U1 + 7102080*U1 + 3462372*U1 - 522672*U1
- 98665*U1 + 11905)/10987,
5 4 3 2
U0=(85796172*U1 - 47481552*U1 - 10265256*U1 + 4828462*U1
+ 414200*U1 - 24707)/164805,
5 4 3 2
U2=(490926744*U1 - 82790424*U1 - 46802952*U1 + 5425849*U1
+ 1108070*U1 - 83819)/164805,
6 5 4 3 2
U1=ROOT_OF(24948*U1_ - 8424*U1_ - 1908*U1_ + 736*U1_ + 24*U1_
- 18*U1_ + 1,U1_)}}
% Example 6. (Big) Trinks problem with 6 polynomials in 6 variables.
torder lex;
GRADLEX
groebner({45*p + 35*s - 165*b - 36,
35*p + 40*z + 25*t - 27*s,
15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b**2,
-9*w + 15*p*t + 20*z*s,
w*p + 2*z*t - 11*b**3,
99*w - 11*b*s + 3*b**2},
{w,p,z,t,s,b});
{17766149161458472422166115589155691471353640232570952361584640*W +
9
3032932981764169411024286535087872715152793150994240000000000000*B
+ 11886822444254795859791802829918904596379497649520730600000000000
8
*B +
7
18842475008351431516615767365088235858572104823839818660000000000*B
+ 18478618789454571665641479626067848900525899492180377333740000000
6
*B +
5
11752365113063961011548983119538614396423298749092231098450400000*B
+ 5110161259755495688253057699488605142801193206234091633443430000
4
*B +
3
1496961750963944475883560598484727796781670457510019079125319720*B
2
+ 288690575257721822668492218552623049380964882774348400629792405*B
+ 36675221781192845731725910375461662443650512572339688148737880*B
+ 1576363174251807401047861085627012261518448811764870474808048,
1079293561558602199646591522041208256884733644128685355966266880*P +
3268477702530974927415861070452491173139572636038856000000000000000
9
*B +
12885633343818230635528913313274512975854362843839764665000000000000
8
*B +
20548731096300848092222002490748474767709483225818633322500000000000
7
*B +
20182049540868333737979937480097593847242554499522522583343500000000
6
*B +
12840592651209104850152262711039251760751322701157046861979660000000
5
*B +
5569707184558884260455460870514004047533638259197462099687709750000
4
*B +
1626104523905067336734029117969017435050069455164231436772691393000
3
*B +
317837165064133808425156860561547977935248864650364953213370433325
2
*B +
38814916107963233682867824475195786374043607759221055124383464600*B
+ 1271557117681971715777755868970298734422034654142333039426477936,
79947671226563125899747520151200611621091381046569285627130880*Z -
207000360174268878618253807286221414267374039050881600000000000000
9
*B -
816930976846005632807581869594187232031930825060787069000000000000
8
*B -
1304191848597021137419209873493260430019068809677834324500000000000
7
*B -
1281648951757969533154633755921969360988365079018184794999100000000
6
*B -
816111850476984294981540451378918253659030380648143145999676000000
5
*B -
354123157925898223808181474698490366723104830470028121053590350000
4
*B -
103524414072393919562685172085266423030522292688870620316927889800
3
*B -
2
20314259597530323830287024948271996904872237353588201428371308545*B
- 2537917907646239051588678539186026277776904294491429226344955896
*B - 101754994043218022355542895254001231074817584410141704072917808
,
53964678077930109982329576102060412844236682206434267798313344*T -
232158787821822686686268803096828213303267879649894080000000000000
9
*B -
914339994087255788035842922803409884324637299732580010200000000000
8
*B -
1456553024942306848445635398194494646048613632462079804220000000000
7
*B -
1429773468085320579659912540829309032262384742022357855878580000000
6
*B -
908944691139155009098308941935669674404431611232759364790656800000
5
*B -
394123305458525780887811122985868682566594060374758630590008810000
4
*B -
114919063563435384108358931167592408356874179358918284670595993240
3
*B -
2
22376181506466478409426169614162075694852682500804198791108921475*B
- 2945714266609139709176973289117451707834537151497408879223183208
*B - 127343046946408668687682889109197718306724189305639804298381200
,
23984301367968937769924256045360183486327414313970785688139264*S -
9
93385077215170712211881744870071176375416361029681600000000000000*B
-
368160952680520875300826094664986085024410366966850419000000000000
8
*B -
587106602751452802634914356878527850505985235023389523500000000000
7
*B -
576629986881952392513712499431359824206930128557786359524100000000
6
*B -
366874075748831567147207506029692907450037791461629910342276000000
5
*B -
159134490987396693155870310586114401358103950262784631419648850000
4
*B -
3
46460129254430495335257974799114783858573413004692326764934039800*B
- 9081061858975251669290196016044227941007110418581855806096298095
2
*B -
1222066452390803097568723620648006189979646603457892421797898376*B
- 60999770483681527871286545331521866855137759127008037834271184,
10 9
43808000000000000000*B + 189995300000000000000*B
8 7
+ 343169730200000000000*B + 377900184178000000000*B
6 5
+ 277427432368460000000*B + 141636786601439800000*B
4 3
+ 50921375336016834000*B + 12792266529459977340*B
2
+ 2215667232541084905*B + 237653554658069880*B + 8984801833047216}
hilbertpolynomial(ws,gvarslast);
10
end;
5: 5:
Time: 11424 ms plus GC time: 527 ms
6: 6:
Quitting
Sat May 30 16:25:17 PDT 1992