Sat May 30 16:25:01 PDT 1992
REDUCE 3.4.1, 15-Jul-92 ...

1: 1: 
2: 2: 
(GROEBNER)

3: 3: 
Time: 272 ms

4: 4: %Examples of use of Groebner code.

% Example 1, Linz 85.

groebner({q1,

          q2**2 + q3**2 + q4**2,

          q4*q3*q2,

          q3**2*q2**2 + q4**2*q2**2 + q4**2*q3**2,

          q6**2 + 1/3*q5**2,

          q6**3 - q5**2*q6,

          2*q2**2*q6 - q3**2*q6 - q4**2*q6 + q3**2*q5 - q4**2*q5,

          2*q2**2*q6**2 - q3**2*q6**2 - q4**2*q6**2 - 2*q3**2*q5*q6
          + 2*q4**2*q5*q6 - 2/3*q2**2*q5**2 + 1/3*q3**2*q5**2
          + 1/3*q4**2*q5**2,

          - q3**2*q2**2*q6 - q4**2*q2**2*q6 + 2*q4**2*q3**2*q6 -
          q3**2*q2**2*q5 + q4**2*q2**2*q5,

          - q3**2*q2**2*q6**2 - q4**2*q2**2*q6**2 + 2*q4**2*q3**2*q6**2
          + 2*q3**2*q2**2*q5*q6 - 2*q4**2*q2**2*q5*q6 + 1/3*q3**2*q2**2
          *q5**2 + 1/3*q4**2*q2**2*q5**2 - 2/3*q4**2*q3**2*q5**2,

          - 3*q3**2*q2**4*q5*q6**2 + 3*q4**2*q2**4*q5*q6**2
          + 3*q3**4*q2**2*q5*q6**2 - 3*q4**4*q2**2*q5*q6**2
          - 3*q4**2*q3**4*q5*q6**2 + 3*q4**4*q3**2*q5*q6**2
          + 1/3*q3**2*q2**4*q5**3 - 1/3*q4**2*q2**4*q5**3
          - 1/3*q3**4*q2**2*q5**3 + 1/3*q4**4*q2**2*q5**3 + 1/3*q4**2
            *q3**4*q5**3 - 1/3*q4**4*q3**2*q5**3},

         {q1,q2,q3,q4,q5,q6});


{Q1,

   2     2     2
 Q2  + Q3  + Q4 ,

 Q2*Q3*Q4,

      4
 Q2*Q4 *Q6,

      3             3
 Q2*Q4 *Q5 + 3*Q2*Q4 *Q6,

      3   2
 Q2*Q4 *Q6 ,

   4     2   2     4
 Q3  + Q3 *Q4  + Q4 ,

   3           3
 Q3 *Q4 + Q3*Q4 ,

   2   2
 Q3 *Q4 *Q6,

   2          2        2          2
 Q3 *Q5 - 3*Q3 *Q6 - Q4 *Q5 - 3*Q4 *Q6,

   2   2     2   2
 Q3 *Q6  + Q4 *Q6 ,

      4
 Q3*Q4 *Q6,

      3
 Q3*Q4 *Q5,

      3   2
 Q3*Q4 *Q6 ,

   5
 Q4 ,

   4        4
 Q4 *Q5 + Q4 *Q6,

   4   2
 Q4 *Q6 ,

   2           2   2
 Q4 *Q5*Q6 - Q4 *Q6 ,

   2       2
 Q5  + 3*Q6 ,

   3
 Q6 }



% Example 2. (Little) Trinks problem with 7 polynomials in 6 variables.

polys := {45*p + 35*s - 165*b - 36,

          35*p + 40*z + 25*t - 27*s,

          15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b**2,

          - 9*w + 15*p*t + 20*z*s,

          w*p + 2*z*t - 11*b**3,

          99*w - 11*s*b + 3*b**2,

          b**2 + 33/50*b + 2673/10000};


POLYS := { - 165*B + 45*P + 35*S - 36,

          35*P - 27*S + 25*T + 40*Z,

                  2
           - 165*B  + 25*P*S - 18*T + 15*W + 30*Z,

          15*P*T + 20*S*Z - 9*W,

                 3
           - 11*B  + P*W + 2*T*Z,

             2
          3*B  - 11*B*S + 99*W,

                  2
           10000*B  + 6600*B + 2673
          --------------------------}
                    10000


vars :=  {w,p,z,t,s,b};


VARS := {W,

         P,

         Z,

         T,

         S,

         B}

groebner(polys,vars);


{60000*W + 9500*B + 3969,

 1800*P - 3100*B - 1377,

 18000*Z + 24500*B + 10287,

 750*T - 1850*B + 81,

 200*S - 500*B - 9,

        2
 10000*B  + 6600*B + 2673}

groesolve(polys,vars);


      - 148*SQRT(11)*I - 461
{{T=-------------------------,
               500

     190*SQRT(11)*I - 139
  W=----------------------,
            10000

     490*SQRT(11)*I - 367
  Z=----------------------,
             3000

      - 62*SQRT(11)*I + 59
  P=-----------------------,
              300

     3*( - 5*SQRT(11)*I - 13)
  S=--------------------------,
                50

     3*( - 4*SQRT(11)*I - 11)
  B=--------------------------},
               100

     148*SQRT(11)*I - 461
 {T=----------------------,
             500

      - 190*SQRT(11)*I - 139
  W=-------------------------,
              10000

      - 490*SQRT(11)*I - 367
  Z=-------------------------,
              3000

     62*SQRT(11)*I + 59
  P=--------------------,
            300

     3*(5*SQRT(11)*I - 13)
  S=-----------------------,
              50

     3*(4*SQRT(11)*I - 11)
  B=-----------------------}}
              100

 


% Example 3. Hairer, Runge-Kutta 1, 6 polynomials 8 variables.
 
groebnerf({c2 - a21,
 
          c3 - a31 - a32,
 
          b1 + b2 + b3 - 1,
 
          b2*c2 + b3*c3 - 1/2,
 
          b2*c2**2 + b3*c3**2 - 1/3,
 
          b3*a32*c2 - 1/6},
 
         {c2,c3,b3,b2,b1,a21,a32,a31});


{{C2 - A21,

  C3 - A32 - A31,

  B3 + B2 + B1 - 1,

              2            2                            2    2
  96*B2*B1*A31  - 96*B2*A31  + 96*B2*A31 - 32*B2 - 72*B1 *A32 *A31

          2    2         2        2         2                2    3
   - 48*B1 *A32  - 144*B1 *A32*A31  - 144*B1 *A32*A31 - 72*B1 *A31

               2                2                 2
   + 198*B1*A32 *A31 + 60*B1*A32  + 396*B1*A32*A31  + 72*B1*A32*A31

                            3             2
   - 144*B1*A32 + 198*B1*A31  - 108*B1*A31  - 24*B1*A31

                                          2             2
   - 81*A21*A32*A31 + 54*A21*A32 - 126*A32 *A31 - 12*A32

                2                                 3          2
   - 252*A32*A31  + 126*A32*A31 + 36*A32 - 126*A31  + 162*A31

   - 30*A31 - 12,

                                2
  8*B2*A21 - 8*B2*A31 + 6*B1*A32  + 12*B1*A32*A31 + 4*B1*A32

             2                               2
   + 6*B1*A31  - 4*B1*A31 - 9*A21*A32 - 6*A32  - 12*A32*A31 + 8*A32

          2
   - 6*A31  + 10*A31 - 2,

                     2                                       2
  8*B2*A32 + 6*B1*A32  + 12*B1*A32*A31 + 12*B1*A32 + 6*B1*A31

                                 2                     2
   + 4*B1*A31 - 9*A21*A32 - 6*A32  - 12*A32*A31 - 6*A31  + 2*A31 + 2,

                          2                           2
  12*B1*A21*A32 - 6*B1*A32  - 12*B1*A32*A31 - 6*B1*A31  - 3*A21*A32

          2                             2
   + 6*A32  + 12*A32*A31 - 6*A32 + 6*A31  - 6*A31 + 2,

                         2                          2
  4*B1*A21*A31 + 2*B1*A32  + 4*B1*A32*A31 + 2*B1*A31  - 3*A21*A32

                              2                            2
   - 4*A21*A31 + 2*A21 - 2*A32  - 4*A32*A31 + 4*A32 - 2*A31  + 4*A31

   - 2,

          3            2                    2           3
  6*B1*A32  + 18*B1*A32 *A31 + 18*B1*A32*A31  + 6*B1*A31

              2                                    3         2
   - 9*A21*A32  - 9*A21*A32*A31 + 6*A21*A32 - 6*A32  - 18*A32 *A31

           2             2                             3        2
   + 12*A32  - 18*A32*A31  + 18*A32*A31 - 6*A32 - 6*A31  + 6*A31

   - 2*A31,

       2                                2                  2
  3*A21 *A32 - 3*A21*A32 - A21*A31 + A32  + 2*A32*A31 + A31 }}

 
 

% Example 4.
 
torder gradlex;


LEX

 
g4 := 
groebner({b + e + f - 1,
 
         c + d + 2*e - 3,
 
         b + d + 2*f - 1,
 
         a - b - c - d - e - f,
 
         d*e*a**2 - 1569/31250*b*c**3,
 
         c*f - 587/15625*b*d});


                                                   5
G4 := {144534461790680056924571742971580442350868*F

                                                      4
        - 644899801559202566371326081182412388593750*F

                                                         2
        - 5642454222593591361522253644740080176968509*E*F

                                                       3
        + 1026970650200404602876625225711718032483739*F

        + 60671378319336814425425106786936647125250*E*F

                                                        2
        + 12135463840178290842421221291430776956948795*F

        + 82342665293813692270756265387326300721851*E

        - 6546572608747272255841866021042619274525791*F

        - 455593441982762135422235490670177670637,

                              3                        4
       8282838608877853969*E*F  - 2667985333760708531*F

                                2                        3
        - 315490964385538173*E*F  - 8319462093247392142*F

                                                   2
        - 25594942638053*E*F + 318993777538462620*F

        + 33851175608089*E + 34163367871142*F - 8568425233089,

            2                      2
       587*E  - 46875*E*F + 15038*F  - 587*E + 47462*F,

       A + 2*E - 4,

       B + E + F - 1,

       C + 3*E - F - 3,

       D - E + F}

 
hilbertpolynomial(g4,gvarslast);


8


%   gunivar(e,8,g4,gvarslast);

glexconvert(g4,gvarslast,newvars={e},maxdeg=8);


                         8                            7
{8724935291855297898986*E  - 82886885272625330040367*E

                              6                             5
  + 304980377204235125220384*E  - 524915947547338451201596*E

                              4                            3
  + 362375013966993813907616*E  + 52719473339686639067952*E

                              2
  - 154986762992209058701440*E  + 27347344067139574366944*E

  + 430203494102932512}


groebnerf({b + e + f - 1, 
  
         c + d + 2*e - 3, 
  
         b + d + 2*f - 1, 
  
         a - b - c - d - e - f, 
  
         d*e*a**2 - 1569/31250*b*c**3, 
  
         c*f - 587/15625*b*d});


                                              5
{{144534461790680056924571742971580442350868*F

                                                 4
   - 644899801559202566371326081182412388593750*F

                                                    2
   - 5642454222593591361522253644740080176968509*E*F

                                                  3
   + 1026970650200404602876625225711718032483739*F

   + 60671378319336814425425106786936647125250*E*F

                                                   2
   + 12135463840178290842421221291430776956948795*F

   + 82342665293813692270756265387326300721851*E

   - 6546572608747272255841866021042619274525791*F

   - 455593441982762135422235490670177670637,

                         3                        4
  8282838608877853969*E*F  - 2667985333760708531*F

                           2                        3
   - 315490964385538173*E*F  - 8319462093247392142*F

                                              2
   - 25594942638053*E*F + 318993777538462620*F  + 33851175608089*E

   + 34163367871142*F - 8568425233089,

       2                      2
  587*E  - 46875*E*F + 15038*F  - 587*E + 47462*F,

  A + 2*E - 4,

  B + E + F - 1,

  C + 3*E - F - 3,

  D - E + F}}



% Example 5.
 
groesolve({u0**2 - u0 + 2*u1**2 + 2*u2**2 + 2*u3**2,
 
          2*u0*u1 + 2*u1*u2 + 2*u2*u3 - u1,
 
          2*u0*u2 + u1**2 + 2*u1*u3 - u2,
 
          u0 + 2*u1 + 2*u2 + 2*u3 - 1},
 
         {u0,u2,u3,u1});


      1      1
{{U3=---,U0=---,U2=0,U1=0},
      3      3

 {U3=0,U0=1,U2=0,U1=0},

                    5             4             3            2
 {U3=( - 35588322*U1  + 7102080*U1  + 3462372*U1  - 522672*U1

       - 98665*U1 + 11905)/10987,

                 5              4              3             2
  U0=(85796172*U1  - 47481552*U1  - 10265256*U1  + 4828462*U1

       + 414200*U1 - 24707)/164805,

                  5              4              3             2
  U2=(490926744*U1  - 82790424*U1  - 46802952*U1  + 5425849*U1

       + 1108070*U1 - 83819)/164805,

                      6           5           4          3         2
  U1=ROOT_OF(24948*U1_  - 8424*U1_  - 1908*U1_  + 736*U1_  + 24*U1_

              - 18*U1_ + 1,U1_)}}

 
 

% Example 6. (Big) Trinks problem with 6 polynomials in 6 variables.
 
 torder lex;


GRADLEX

 
 groebner({45*p + 35*s - 165*b - 36,
 
           35*p + 40*z + 25*t - 27*s,
 
           15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b**2,
 
           -9*w + 15*p*t + 20*z*s,
 
           w*p + 2*z*t - 11*b**3,
 
           99*w - 11*b*s + 3*b**2},
 
          {w,p,z,t,s,b});


{17766149161458472422166115589155691471353640232570952361584640*W + 

                                                                   9
 3032932981764169411024286535087872715152793150994240000000000000*B  

 + 11886822444254795859791802829918904596379497649520730600000000000

   8
 *B  + 

                                                                    7
 18842475008351431516615767365088235858572104823839818660000000000*B

  + 18478618789454571665641479626067848900525899492180377333740000000

   6
 *B  + 

                                                                    5
 11752365113063961011548983119538614396423298749092231098450400000*B

  + 5110161259755495688253057699488605142801193206234091633443430000

   4
 *B  + 

                                                                   3
 1496961750963944475883560598484727796781670457510019079125319720*B  

                                                                    2
 + 288690575257721822668492218552623049380964882774348400629792405*B

  + 36675221781192845731725910375461662443650512572339688148737880*B

  + 1576363174251807401047861085627012261518448811764870474808048,

 1079293561558602199646591522041208256884733644128685355966266880*P +

  3268477702530974927415861070452491173139572636038856000000000000000

   9
 *B  + 

 12885633343818230635528913313274512975854362843839764665000000000000

   8
 *B  + 

 20548731096300848092222002490748474767709483225818633322500000000000

   7
 *B  + 

 20182049540868333737979937480097593847242554499522522583343500000000

   6
 *B  + 

 12840592651209104850152262711039251760751322701157046861979660000000

   5
 *B  + 

 5569707184558884260455460870514004047533638259197462099687709750000

   4
 *B  + 

 1626104523905067336734029117969017435050069455164231436772691393000

   3
 *B  + 

 317837165064133808425156860561547977935248864650364953213370433325

   2
 *B  + 

 38814916107963233682867824475195786374043607759221055124383464600*B

  + 1271557117681971715777755868970298734422034654142333039426477936,

 79947671226563125899747520151200611621091381046569285627130880*Z - 

 207000360174268878618253807286221414267374039050881600000000000000

   9
 *B  - 

 816930976846005632807581869594187232031930825060787069000000000000

   8
 *B  - 

 1304191848597021137419209873493260430019068809677834324500000000000

   7
 *B  - 

 1281648951757969533154633755921969360988365079018184794999100000000

   6
 *B  - 

 816111850476984294981540451378918253659030380648143145999676000000

   5
 *B  - 

 354123157925898223808181474698490366723104830470028121053590350000

   4
 *B  - 

 103524414072393919562685172085266423030522292688870620316927889800

   3
 *B  - 

                                                                    2
 20314259597530323830287024948271996904872237353588201428371308545*B

  - 2537917907646239051588678539186026277776904294491429226344955896

 *B - 101754994043218022355542895254001231074817584410141704072917808

 ,

 53964678077930109982329576102060412844236682206434267798313344*T - 

 232158787821822686686268803096828213303267879649894080000000000000

   9
 *B  - 

 914339994087255788035842922803409884324637299732580010200000000000

   8
 *B  - 

 1456553024942306848445635398194494646048613632462079804220000000000

   7
 *B  - 

 1429773468085320579659912540829309032262384742022357855878580000000

   6
 *B  - 

 908944691139155009098308941935669674404431611232759364790656800000

   5
 *B  - 

 394123305458525780887811122985868682566594060374758630590008810000

   4
 *B  - 

 114919063563435384108358931167592408356874179358918284670595993240

   3
 *B  - 

                                                                    2
 22376181506466478409426169614162075694852682500804198791108921475*B

  - 2945714266609139709176973289117451707834537151497408879223183208

 *B - 127343046946408668687682889109197718306724189305639804298381200

 ,

 23984301367968937769924256045360183486327414313970785688139264*S - 

                                                                    9
 93385077215170712211881744870071176375416361029681600000000000000*B

  - 

 368160952680520875300826094664986085024410366966850419000000000000

   8
 *B  - 

 587106602751452802634914356878527850505985235023389523500000000000

   7
 *B  - 

 576629986881952392513712499431359824206930128557786359524100000000

   6
 *B  - 

 366874075748831567147207506029692907450037791461629910342276000000

   5
 *B  - 

 159134490987396693155870310586114401358103950262784631419648850000

   4
 *B  - 

                                                                    3
 46460129254430495335257974799114783858573413004692326764934039800*B

  - 9081061858975251669290196016044227941007110418581855806096298095

   2
 *B  - 

 1222066452390803097568723620648006189979646603457892421797898376*B

  - 60999770483681527871286545331521866855137759127008037834271184,

                       10                          9
 43808000000000000000*B   + 189995300000000000000*B

                           8                          7
  + 343169730200000000000*B  + 377900184178000000000*B

                           6                          5
  + 277427432368460000000*B  + 141636786601439800000*B

                          4                         3
  + 50921375336016834000*B  + 12792266529459977340*B

                         2
  + 2215667232541084905*B  + 237653554658069880*B + 8984801833047216}

 
 
hilbertpolynomial(ws,gvarslast);


10


end;

5: 5: 
Time: 11424 ms  plus GC time: 527 ms
6: 6: 
Quitting
Sat May 30 16:25:17 PDT 1992
