REDUCE 3.4.1, 15-Jul-92 ...
1:
DESIR : solutions formelles d'equations differentielles
lineaires homogenes au voisinage de zero, point
singulier regulier ou irregulier, ou point regulier
Version 3.1 - Septembre 1989
Appel par desir();
(DESIR)
off echo;
Premier exemple: utilisation interactive sur une equation simple
desir(); %appel de DESIR
ATTENTION : chaque donnee doit etre suivie de ; ou de $
***** INTRODUCTION DES DONNEES *****
L' equation est de la forme
a(0)(x)d^0 + a(1)(x)d^1 + .... + a(n)(x)d^n = 0
ordre de l'equation ?
Donner les coefficients a(j)(x), j = 0..n
a(0) = 1
a(1) = X
a(2) = X
6
a(3) = X
correction ? ( oui; / non; )
transformation ? (oui;/non;)
nombre de termes desires pour la solution ?
LES 3 SOLUTIONS CALCULEES SONT LES SUIVANTES
==============
SOLUTION No 1
==============
1 4 1 3 2
X*(----*X - ---*X + X - 2*X + 2)
12 3
==============
SOLUTION No 2
==============
1 4 1 3 2 5 4
---*LOG(X)*X - ---*LOG(X)*X + LOG(X)*X - LOG(X)*X - ----*X
6 2 36
1 3
+ ---*X - X + 1
4
==============
SOLUTION No 3
==============
4
1/(4*X ) 10 361 4 1 3 1 2
E *X *(-----*X + ---*X + ---*X + X + 1)
24 6 2
voulez-vous continuer ?
'non;' : la liste des solutions calculees est affichee (sous
forme generalisee).
'non$' : cette liste n'est pas affichee.
6
{{{1,X,X,X },
4 3 2
XT - 4*XT + 12*XT - 24*XT + 24
{{{{0,1,-----------------------------------,1},{}}},
12
4 3 2
{{{0,1,(6*LOG(XT)*XT - 18*LOG(XT)*XT + 36*LOG(XT)*XT
4 3
- 36*LOG(XT)*XT - 5*XT + 9*XT - 36*XT + 36)/36,0},{}}},
4 3 2
1 361*XT + 4*XT + 12*XT + 24*XT + 24
{{{-------,1,---------------------------------------,10},{}}}}}}
4 24
4*XT
solvalide(first ws,1,4);
4 3 2
X*(X - 4*X + 12*X - 24*X + 24)
La solution numero 1 est -----------------------------------
12
La partie reguliere du reste est de l'ordre de x**5
Si on reporte cette solution dans l'equation, le terme
1 5
significatif du reste est : ---*X
2
5 3 2
X *(10*X - 16*X + 12*X + 1)
-------------------------------
2
Le meme exemple en utilisation directe
lcoeff:={1,x,x,x**6};
6
LCOEFF := {1,X,X,X }
param:={};
PARAM := {}
on trdesir; %obtention facultative d'une trace
Time: 1819 ms
sol:=delire(x,4,1,lcoeff,param);
0 -1 0 2
2 -1 4 1
f(0) = LAMBD*(LAMBD - 1)
2 -1 4 1
0 -5 0 1
f(0) = LAMBD - 10
4 3 2
XT - 4*XT + 12*XT - 24*XT + 24
SOL := {{{{0,1,-----------------------------------,1},{}}},
12
4 3 2
{{{0,1,(6*LOG(XT)*XT - 18*LOG(XT)*XT + 36*LOG(XT)*XT
4 3
- 36*LOG(XT)*XT - 5*XT + 9*XT - 36*XT + 36)/36,0},
{}}},
4 3 2
1 361*XT + 4*XT + 12*XT + 24*XT + 24
{{{-------,1,---------------------------------------,10},{}}}
4 24
4*XT
}
showtime; %temps d'execution de 'delire'
Time: 969 ms plus GC time: 119 ms
1ieme solution :
1 4 1 3 2
X*(----*X - ---*X + X - 2*X + 2)
12 3
0
2ieme solution :
1 4 1 3 2 5 4
---*LOG(X)*X - ---*LOG(X)*X + LOG(X)*X - LOG(X)*X - ----*X
6 2 36
1 3
+ ---*X - X + 1
4
0
3ieme solution :
4
1/(4*X ) 10 361 4 1 3 1 2
E *X *(-----*X + ---*X + ---*X + X + 1)
24 6 2
0
solvalide({lcoeff,sol},2,4)$
4
1/(4*X ) 10
La solution numero 3 est E *X
361 4 1 3 1 2
*(-----*X + ---*X + ---*X + X + 1)
24 6 2
La partie reguliere du reste est de l'ordre de x**10
Si on reporte cette solution dans l'equation, le terme
4
2137 1/(4*X ) 10
significatif du reste est : - ------*E *X
24
solvalide({lcoeff,sol},3,4)$
4
1/(4*X ) 10
La solution numero 3 est E *X
361 4 1 3 1 2
*(-----*X + ---*X + ---*X + X + 1)
24 6 2
La partie reguliere du reste est de l'ordre de x**10
Si on reporte cette solution dans l'equation, le terme
4
2137 1/(4*X ) 10
significatif du reste est : - ------*E *X
24
off trdesir;
Deuxieme exemple : utilisation interactive, parametres et
transformations
desir();
ATTENTION : chaque donnee doit etre suivie de ; ou de $
***** INTRODUCTION DES DONNEES *****
L' equation est de la forme
a(0)(x)d^0 + a(1)(x)d^1 + .... + a(n)(x)d^n = 0
ordre de l'equation ?
Donner les coefficients a(j)(x), j = 0..n
2 2
a(0) = X - NU
a(1) = X
2
a(2) = X
correction ? ( oui; / non; )
nombre de parametres ?
donner ce parametre :
transformation ? (oui;/non;)
nombre de termes desires pour la solution ?
LES 2 SOLUTIONS CALCULEES SONT LES SUIVANTES
==============
SOLUTION No 1
==============
- NU 1 2
X *(---*X + NU - 1)
4
--------------------------
NU - 1
Si :
- 2*NU non entier
- NU 2 2
2*X *NU *(X + 4*NU - 4)
------------------------------
NU - 1
Si :
- 2*NU entier positif
NU 2 2
2*X *NU *( - X + 4*NU + 4)
------------------------------
NU + 1
Si :
- 2*NU entier negatif
NU 1 2
X *( - ---*X + NU + 1)
4
--------------------------
NU + 1
Si :
- 2*NU nul
==============
SOLUTION No 2
==============
NU 1 2
X *( - ---*X + NU + 1)
4
--------------------------
NU + 1
Si :
- 2*NU non entier
NU 1 2 1 2 2
(X *( - ---*LOG(X)*X *NU - ---*LOG(X)*X + LOG(X)*NU + 2*LOG(X)*NU
4 4
1 2 1 2 2
+ LOG(X) + ---*X *NU + ---*X ))/(NU + 2*NU + 1)
8 4
Si :
- 2*NU nul
voulez-vous continuer ?
'non;' : la liste des solutions calculees est affichee (sous
forme generalisee).
'non$' : cette liste n'est pas affichee.
derivation : 1;
changement de variable : 2;
changement de fonction inconnue : 3;
substitution : 4;
valeur de x en fonction de la nouvelle variable v ?
2 2
a(0) = - V *NU + 1
3
a(1) = V
4
a(2) = V
transformation ? (oui;/non;)
nombre de termes desires pour la solution ?
LES 2 SOLUTIONS CALCULEES SONT LES SUIVANTES
==============
SOLUTION No 1
==============
- I/X 1 -1 2 1 -1 1 2 4 5 2 2
SQRT(X)*E *(---*I *X*NU - ---*I *X - ---*X *NU + ----*X *NU
2 8 8 16
9 2
- -----*X + 1)
128
==============
SOLUTION No 2
==============
I/X 1 -1 2 1 -1 1 2 4 5 2 2
SQRT(X)*E *( - ---*I *X*NU + ---*I *X - ---*X *NU + ----*X *NU
2 8 8 16
9 2
- -----*X + 1)
128
voulez-vous continuer ?
'non;' : la liste des solutions calculees est affichee (sous
forme generalisee).
'non$' : cette liste n'est pas affichee.
sol1:=first sol$ %solutions au voisinage de 0
sol2:=second sol$ %solutions au voisinage de l'infini
solvalide(sol1,1,2)$
presence de solutions conditionnelles :
cette procedure ne peut pas etre appelee.
solvalide(sol2,1,2)$
La solution numero 1 est (SQRT(X)
2 4 2 2 2 2
*( - 16*I*X *NU + 40*I*X *NU - 9*I*X + 128*I + 64*X*NU - 16*X)
I/X
)/(128*E *I)
9
La partie reguliere du reste est de l'ordre de x**---
2
Si on reporte cette solution dans l'equation, le terme
significatif du reste est :
1 4 6 35 4 259 2 225
---*SQRT(X)*X *(NU - ----*NU + -----*NU - -----)
8 4 16 64
-----------------------------------------------------
I/X
E
Remarque : la verification de la validite des solutions est possible
malgre la presence d'un parametre (pas de condition).
standsol(sol1); %=sol1...sans interet!
2 2 2
{{X - NU ,X,X },
{},
2
XT + 4*NU - 4
{{{{0,1,----------------, - NU},
4*(NU - 1)
{ - 2*NU,NONENT,, sauf :,1}},
2 2
2*NU *(XT + 4*NU - 4)
{{0,1,------------------------, - NU},
NU - 1
{ - 2*NU,ENTPOS}},
2 2
2*NU *( - XT + 4*NU + 4)
{{0,1,---------------------------,NU},
NU + 1
{ - 2*NU,ENTNEG}},
2
- XT + 4*NU + 4
{{0,1,-------------------,NU},
4*(NU + 1)
{ - 2*NU,ENTNUL}}},
2
- XT + 4*NU + 4
{{{0,1,-------------------,NU},
4*(NU + 1)
{ - 2*NU,NONENT,, sauf :,1}},
{{0,
1,
2 4 2 3
( - LOG(XT)*XT *LAMBD + 4*LOG(XT)*XT *LAMBD *NU
2 3 2 2 2
- 4*LOG(XT)*XT *LAMBD - 2*LOG(XT)*XT *LAMBD *NU
2 2 2 2
+ 16*LOG(XT)*XT *LAMBD *NU - 4*LOG(XT)*XT *LAMBD
2 3 2 2
- 4*LOG(XT)*XT *LAMBD*NU - 12*LOG(XT)*XT *LAMBD*NU
2 2 4
+ 16*LOG(XT)*XT *LAMBD*NU + 3*LOG(XT)*XT *NU
2 2 6 5
- 12*LOG(XT)*XT *NU + LOG(XT)*LAMBD - 4*LOG(XT)*LAMBD *NU
5 4 2 4
+ 8*LOG(XT)*LAMBD + LOG(XT)*LAMBD *NU - 32*LOG(XT)*LAMBD *NU
4 3 3
+ 24*LOG(XT)*LAMBD + 8*LOG(XT)*LAMBD *NU
3 2 3
+ 16*LOG(XT)*LAMBD *NU - 96*LOG(XT)*LAMBD *NU
3 2 4
+ 32*LOG(XT)*LAMBD - 5*LOG(XT)*LAMBD *NU
2 3 2 2
+ 32*LOG(XT)*LAMBD *NU + 64*LOG(XT)*LAMBD *NU
2 2
- 128*LOG(XT)*LAMBD *NU + 16*LOG(XT)*LAMBD
5 4
- 4*LOG(XT)*LAMBD*NU - 24*LOG(XT)*LAMBD*NU
3 2
+ 32*LOG(XT)*LAMBD*NU + 96*LOG(XT)*LAMBD*NU
6 4
- 64*LOG(XT)*LAMBD*NU + 3*LOG(XT)*NU - 24*LOG(XT)*NU
2 2 2 2 2
+ 48*LOG(XT)*NU - 4*XT *LAMBD *NU - 4*XT *LAMBD
2 2 2 2 3 2 2
+ 8*XT *LAMBD*NU - 8*XT *LAMBD - 4*XT *NU + 12*XT *NU
2 5 4 4
+ 16*XT *NU + 2*LAMBD - 4*LAMBD *NU + 16*LAMBD
3 2 3 3 2 3
- 4*LAMBD *NU - 32*LAMBD *NU + 48*LAMBD + 8*LAMBD *NU
2 2 2 2 4
- 16*LAMBD *NU - 96*LAMBD *NU + 64*LAMBD + 2*LAMBD*NU
3 2
+ 32*LAMBD*NU - 16*LAMBD*NU - 128*LAMBD*NU + 32*LAMBD
5 3 4 3 2 2
- 4*NU + 32*NU - 64*NU)/(LAMBD + 8*LAMBD - 2*LAMBD *NU
2 2 4 2
+ 24*LAMBD - 8*LAMBD*NU + 32*LAMBD + NU - 8*NU + 16),
NU},
{ - 2*NU,ENTPOS}},
{{0,
1,
2 4 2 3
( - LOG(XT)*XT *LAMBD - 4*LOG(XT)*XT *LAMBD *NU
2 3 2 2 2
- 4*LOG(XT)*XT *LAMBD - 2*LOG(XT)*XT *LAMBD *NU
2 2 2 2
- 16*LOG(XT)*XT *LAMBD *NU - 4*LOG(XT)*XT *LAMBD
2 3 2 2
+ 4*LOG(XT)*XT *LAMBD*NU - 12*LOG(XT)*XT *LAMBD*NU
2 2 4
- 16*LOG(XT)*XT *LAMBD*NU + 3*LOG(XT)*XT *NU
2 2 6 5
- 12*LOG(XT)*XT *NU + LOG(XT)*LAMBD + 4*LOG(XT)*LAMBD *NU
5 4 2 4
+ 8*LOG(XT)*LAMBD + LOG(XT)*LAMBD *NU + 32*LOG(XT)*LAMBD *NU
4 3 3
+ 24*LOG(XT)*LAMBD - 8*LOG(XT)*LAMBD *NU
3 2 3
+ 16*LOG(XT)*LAMBD *NU + 96*LOG(XT)*LAMBD *NU
3 2 4
+ 32*LOG(XT)*LAMBD - 5*LOG(XT)*LAMBD *NU
2 3 2 2
- 32*LOG(XT)*LAMBD *NU + 64*LOG(XT)*LAMBD *NU
2 2
+ 128*LOG(XT)*LAMBD *NU + 16*LOG(XT)*LAMBD
5 4
+ 4*LOG(XT)*LAMBD*NU - 24*LOG(XT)*LAMBD*NU
3 2
- 32*LOG(XT)*LAMBD*NU + 96*LOG(XT)*LAMBD*NU
6 4
+ 64*LOG(XT)*LAMBD*NU + 3*LOG(XT)*NU - 24*LOG(XT)*NU
2 2 2 2 2
+ 48*LOG(XT)*NU + 4*XT *LAMBD *NU - 4*XT *LAMBD
2 2 2 2 3 2 2
+ 8*XT *LAMBD*NU - 8*XT *LAMBD + 4*XT *NU + 12*XT *NU
2 5 4 4
- 16*XT *NU + 2*LAMBD + 4*LAMBD *NU + 16*LAMBD
3 2 3 3 2 3
- 4*LAMBD *NU + 32*LAMBD *NU + 48*LAMBD - 8*LAMBD *NU
2 2 2 2 4
- 16*LAMBD *NU + 96*LAMBD *NU + 64*LAMBD + 2*LAMBD*NU
3 2
- 32*LAMBD*NU - 16*LAMBD*NU + 128*LAMBD*NU + 32*LAMBD
5 3 4 3 2 2
+ 4*NU - 32*NU + 64*NU)/(LAMBD + 8*LAMBD - 2*LAMBD *NU
2 2 4 2
+ 24*LAMBD - 8*LAMBD*NU + 32*LAMBD + NU - 8*NU + 16),
- NU},
{ - 2*NU,ENTNEG}},
{{0,
1,
2 2 2
( - 2*LOG(XT)*XT *NU - 2*LOG(XT)*XT + 8*LOG(XT)*NU
2 2
+ 16*LOG(XT)*NU + 8*LOG(XT) + XT *NU + 2*XT )/(8
2
*(NU + 2*NU + 1)),
NU},
{ - 2*NU,ENTNUL}}}}}
standsol(sol2); %solutions retournees sous forme standard.
2 2 3 4
{{ - X *NU + 1,X ,X },
{(SQRT(X)
2 4 2 2 2 2
*( - 16*I*X *NU + 40*I*X *NU - 9*I*X + 128*I + 64*X*NU - 16*X)
I/X
)/(128*E *I),
I/X
(SQRT(X)*E
2 4 2 2 2 2
*( - 16*I*X *NU + 40*I*X *NU - 9*I*X + 128*I - 64*X*NU + 16*X)
)/(128*I)},
{}}
Pour revoir les solutions au voisinage de 0 :
for each elt in second sol1 do
<<j:=j+1;write j,'ieme solution';sorsol(elt);>>;
1ieme solution
2
X + 4*NU - 4
----------------
NU
4*X *(NU - 1)
Si :
- 2*NU non entier
2 2
2*NU *(X + 4*NU - 4)
-----------------------
NU
X *(NU - 1)
Si :
- 2*NU entier positif
NU 2 2
2*X *NU *( - X + 4*NU + 4)
------------------------------
NU + 1
Si :
- 2*NU entier negatif
NU 2
X *( - X + 4*NU + 4)
------------------------
4*(NU + 1)
Si :
- 2*NU nul
2ieme solution
NU 2
X *( - X + 4*NU + 4)
------------------------
4*(NU + 1)
Si :
- 2*NU non entier
NU 2 2 2
(X *( - 2*LOG(X)*X *NU - 2*LOG(X)*X + 8*LOG(X)*NU + 16*LOG(X)*NU
2 2 2
+ 8*LOG(X) + X *NU + 2*X ))/(8*(NU + 2*NU + 1))
Si :
- 2*NU nul
Evaluation des solns au voisinage de 0 pour une valeur particuliere
du parametre :
sorparam(sol1,{nu});%evaluation des solutions au voisinage de 0
%pour une valeur particuliere du parametre
%nu = 1
%ecriture et retour des solutions sous forme
%standard
donner la valeur du parametre NU
==============
SOLUTION No 1
==============
2
X*( - X + 8)
==============
SOLUTION No 2
==============
2
- LOG(X)*X + 2
------------------
X
2 2
{{X - 1,X,X },
2
2 - LOG(X)*X + 2
{X*( - X + 8),------------------}}
X
solparam(sol1,{nu},{1});
2 2
{{X - 1,X,X },
2
{{{{0,1, - XT + 8,1},{}}},
2
{{{0,1, - LOG(XT)*XT + 2,-1},{}}}}}
Meme fonction avec retour des solutions sous forme generalisee,
ce qui permet d'enchainer :
solvalide(ws,1,2)$
2
La solution numero 1 est X*( - X + 8)
La partie reguliere du reste est de l'ordre de x**4
Si on reporte cette solution dans l'equation, le terme
5
significatif du reste est : - X
L'exemple suivant a ete cree specialement pour tester l'algorithme
et utiliser un grand nombre de procedures :
LCOEFF := {X + 1,
2
2*X *(X + 1),
4
X ,
7
5*X
------,
2
10
X }
PARAM := {}
Time: 10149 ms plus GC time: 561 ms
sol:=delire(x,4,1,lcoeff,param);
Time: 7786 ms plus GC time: 595 ms
1ieme solution :
(SQRT(X)*SQRT(6) + 1)/X -4 1330595 - 1/2
E *X *( - ---------*SQRT(X)*6 *X
96
173 - 1/2 174069763 2 9173
- -----*SQRT(X)*6 + -----------*X + ------*X + 1)
2 4608 16
0
2ieme solution :
( - SQRT(X)*SQRT(6) + 1)/X -4 1330595 - 1/2
E *X *(---------*SQRT(X)*6 *X
96
173 - 1/2 174069763 2 9173
+ -----*SQRT(X)*6 + -----------*X + ------*X + 1)
2 4608 16
0
3ieme solution :
2
13/27 ( - 32*X + 3)/(12*X ) 14 90412648939865456 4
X *E *X *(-------------------*X
10460353203
10833178373456 3 353835104 2 25336
+ ----------------*X + -----------*X + -------*X + 1)
43046721 59049 243
0
4ieme solution :
2
1/54 (2*X + 3)/(3*X ) 10 863316799848061 4 48578095525 3
X *E *X *(-----------------*X - -------------*X
1338925209984 344373768
7318955 2 1333
+ ---------*X - ------*X + 1)
236196 243
0
(SQRT(X)*SQRT(6) + 1)/X -4
La solution numero 1 est E *X *(
1330595 - 1/2 173 - 1/2
- ---------*SQRT(X)*6 *X - -----*SQRT(X)*6
96 2
174069763 2 9173
+ -----------*X + ------*X + 1)
4608 16
3
La partie reguliere du reste est de l'ordre de x** - ---
2
Si on reporte cette solution dans l'equation, le terme
6740979385 (SQRT(X)*SQRT(6) + 1)/X
significatif du reste est : - ------------*E
6144
2
13/27 ( - 32*X + 3)/(12*X ) 14
La solution numero 3 est X *E *X *(
90412648939865456 4 10833178373456 3 353835104 2
-------------------*X + ----------------*X + -----------*X
10460353203 43046721 59049
25336
+ -------*X + 1)
243
526
La partie reguliere du reste est de l'ordre de x**-----
27
Si on reporte cette solution dans l'equation, le terme
significatif du reste est :
2
409426546365146093644 13/27 ( - 32/3*X + 1)/(4*X ) 19
- -----------------------*X *E *X
847288609443
Time: 10948 ms plus GC time: 833 ms
Quitting