Codemist Standard Lisp 3.54 for DEC Alpha: May 23 1994
Dump file created: Mon May 23 10:39:11 1994
REDUCE 3.5, 15-Oct-93 ...
Memory allocation: 6023424 bytes
+++ About to read file ndotest.red
%Examples of use of Groebner code.
% Example 1, Linz 85.
groebner({q1,
q2**2 + q3**2 + q4**2,
q4*q3*q2,
q3**2*q2**2 + q4**2*q2**2 + q4**2*q3**2,
q6**2 + 1/3*q5**2,
q6**3 - q5**2*q6,
2*q2**2*q6 - q3**2*q6 - q4**2*q6 + q3**2*q5 - q4**2*q5,
2*q2**2*q6**2 - q3**2*q6**2 - q4**2*q6**2 - 2*q3**2*q5*q6
+ 2*q4**2*q5*q6 - 2/3*q2**2*q5**2 + 1/3*q3**2*q5**2
+ 1/3*q4**2*q5**2,
- q3**2*q2**2*q6 - q4**2*q2**2*q6 + 2*q4**2*q3**2*q6 -
q3**2*q2**2*q5 + q4**2*q2**2*q5,
- q3**2*q2**2*q6**2 - q4**2*q2**2*q6**2 + 2*q4**2*q3**2*q6**2
+ 2*q3**2*q2**2*q5*q6 - 2*q4**2*q2**2*q5*q6 + 1/3*q3**2*q2**2
*q5**2 + 1/3*q4**2*q2**2*q5**2 - 2/3*q4**2*q3**2*q5**2,
- 3*q3**2*q2**4*q5*q6**2 + 3*q4**2*q2**4*q5*q6**2
+ 3*q3**4*q2**2*q5*q6**2 - 3*q4**4*q2**2*q5*q6**2
- 3*q4**2*q3**4*q5*q6**2 + 3*q4**4*q3**2*q5*q6**2
+ 1/3*q3**2*q2**4*q5**3 - 1/3*q4**2*q2**4*q5**3
- 1/3*q3**4*q2**2*q5**3 + 1/3*q4**4*q2**2*q5**3 + 1/3*q4**2
*q3**4*q5**3 - 1/3*q4**4*q3**2*q5**3},
{q1,q2,q3,q4,q5,q6});
{q1,
2 2 2
q2 + q3 + q4 ,
q2*q3*q4,
4
q2*q4 *q6,
3 3
q2*q4 *q5 + 3*q2*q4 *q6,
3 2
q2*q4 *q6 ,
4 2 2 4
q3 + q3 *q4 + q4 ,
3 3
q3 *q4 + q3*q4 ,
2 2
q3 *q4 *q6,
2 2 2 2
q3 *q5 - 3*q3 *q6 - q4 *q5 - 3*q4 *q6,
2 2 2 2
q3 *q6 + q4 *q6 ,
4
q3*q4 *q6,
3
q3*q4 *q5,
3 2
q3*q4 *q6 ,
5
q4 ,
4 4
q4 *q5 + q4 *q6,
4 2
q4 *q6 ,
2 2 2
q4 *q5*q6 - q4 *q6 ,
2 2
q5 + 3*q6 ,
3
q6 }
% Example 2. (Little) Trinks problem with 7 polynomials in 6 variables.
trinkspolys := {45*p + 35*s - 165*b - 36,
35*p + 40*z + 25*t - 27*s,
15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b**2,
- 9*w + 15*p*t + 20*z*s,
w*p + 2*z*t - 11*b**3,
99*w - 11*s*b + 3*b**2,
b**2 + 33/50*b + 2673/10000};
trinkspolys := { - 165*b + 45*p + 35*s - 36,
35*p - 27*s + 25*t + 40*z,
2
- 165*b + 25*p*s - 18*t + 15*w + 30*z,
15*p*t + 20*s*z - 9*w,
3
- 11*b + p*w + 2*t*z,
2
3*b - 11*b*s + 99*w,
2
10000*b + 6600*b + 2673
--------------------------}
10000
trinksvars := {w,p,z,t,s,b};
trinksvars := {w,
p,
z,
t,
s,
b}
groebner(trinkspolys,trinksvars);
{60000*w + 9500*b + 3969,
1800*p - 3100*b - 1377,
18000*z + 24500*b + 10287,
750*t - 1850*b + 81,
200*s - 500*b - 9,
2
10000*b + 6600*b + 2673}
groesolve(trinkspolys,trinksvars);
- 148*sqrt(11)*i - 461
{{t=-------------------------,
500
190*sqrt(11)*i - 139
w=----------------------,
10000
490*sqrt(11)*i - 367
z=----------------------,
3000
- 62*sqrt(11)*i + 59
p=-----------------------,
300
3*( - 5*sqrt(11)*i - 13)
s=--------------------------,
50
3*( - 4*sqrt(11)*i - 11)
b=--------------------------},
100
148*sqrt(11)*i - 461
{t=----------------------,
500
- 190*sqrt(11)*i - 139
w=-------------------------,
10000
- 490*sqrt(11)*i - 367
z=-------------------------,
3000
62*sqrt(11)*i + 59
p=--------------------,
300
3*(5*sqrt(11)*i - 13)
s=-----------------------,
50
3*(4*sqrt(11)*i - 11)
b=-----------------------}}
100
% Example 3. Hairer, Runge-Kutta 1, 6 polynomials 8 variables.
groebnerf({c2 - a21,
c3 - a31 - a32,
b1 + b2 + b3 - 1,
b2*c2 + b3*c3 - 1/2,
b2*c2**2 + b3*c3**2 - 1/3,
b3*a32*c2 - 1/6},
{c2,c3,b3,b2,b1,a21,a32,a31});
{{c2 - a21,
c3 - a32 - a31,
b3 + b2 + b1 - 1,
2 2 2 2
96*b2*b1*a31 - 96*b2*a31 + 96*b2*a31 - 32*b2 - 72*b1 *a32 *a31
2 2 2 2 2 2 3
- 48*b1 *a32 - 144*b1 *a32*a31 - 144*b1 *a32*a31 - 72*b1 *a31
2 2 2
+ 198*b1*a32 *a31 + 60*b1*a32 + 396*b1*a32*a31 + 72*b1*a32*a31
3 2
- 144*b1*a32 + 198*b1*a31 - 108*b1*a31 - 24*b1*a31
2 2
- 81*a21*a32*a31 + 54*a21*a32 - 126*a32 *a31 - 12*a32
2 3 2
- 252*a32*a31 + 126*a32*a31 + 36*a32 - 126*a31 + 162*a31
- 30*a31 - 12,
2
8*b2*a21 - 8*b2*a31 + 6*b1*a32 + 12*b1*a32*a31 + 4*b1*a32
2 2
+ 6*b1*a31 - 4*b1*a31 - 9*a21*a32 - 6*a32 - 12*a32*a31 + 8*a32
2
- 6*a31 + 10*a31 - 2,
2 2
8*b2*a32 + 6*b1*a32 + 12*b1*a32*a31 + 12*b1*a32 + 6*b1*a31
2 2
+ 4*b1*a31 - 9*a21*a32 - 6*a32 - 12*a32*a31 - 6*a31 + 2*a31 + 2,
2 2
12*b1*a21*a32 - 6*b1*a32 - 12*b1*a32*a31 - 6*b1*a31 - 3*a21*a32
2 2
+ 6*a32 + 12*a32*a31 - 6*a32 + 6*a31 - 6*a31 + 2,
2 2
4*b1*a21*a31 + 2*b1*a32 + 4*b1*a32*a31 + 2*b1*a31 - 3*a21*a32
2 2
- 4*a21*a31 + 2*a21 - 2*a32 - 4*a32*a31 + 4*a32 - 2*a31 + 4*a31
- 2,
3 2 2 3
6*b1*a32 + 18*b1*a32 *a31 + 18*b1*a32*a31 + 6*b1*a31
2 3 2
- 9*a21*a32 - 9*a21*a32*a31 + 6*a21*a32 - 6*a32 - 18*a32 *a31
2 2 3 2
+ 12*a32 - 18*a32*a31 + 18*a32*a31 - 6*a32 - 6*a31 + 6*a31
- 2*a31,
2 2 2
3*a21 *a32 - 3*a21*a32 - a21*a31 + a32 + 2*a32*a31 + a31 }}
% Example 4.
torder gradlex;
lex
g4 :=
groebner({b + e + f - 1,
c + d + 2*e - 3,
b + d + 2*f - 1,
a - b - c - d - e - f,
d*e*a**2 - 1569/31250*b*c**3,
c*f - 587/15625*b*d});
5
g4 := {144534461790680056924571742971580442350868*f
4
- 644899801559202566371326081182412388593750*f
2
- 5642454222593591361522253644740080176968509*e*f
3
+ 1026970650200404602876625225711718032483739*f
+ 60671378319336814425425106786936647125250*e*f
2
+ 12135463840178290842421221291430776956948795*f
+ 82342665293813692270756265387326300721851*e
- 6546572608747272255841866021042619274525791*f
- 455593441982762135422235490670177670637,
3 4
8282838608877853969*e*f - 2667985333760708531*f
2 3
- 315490964385538173*e*f - 8319462093247392142*f
2
- 25594942638053*e*f + 318993777538462620*f
+ 33851175608089*e + 34163367871142*f - 8568425233089,
2 2
587*e - 46875*e*f + 15038*f - 587*e + 47462*f,
a + 2*e - 4,
b + e + f - 1,
c + 3*e - f - 3,
d - e + f}
hilbertpolynomial(g4,gvarslast);
8
% gunivar(e,8,g4,gvarslast);
glexconvert(g4,gvarslast,newvars={e},maxdeg=8);
8 7
{8724935291855297898986*e - 82886885272625330040367*e
6 5
+ 304980377204235125220384*e - 524915947547338451201596*e
4 3
+ 362375013966993813907616*e + 52719473339686639067952*e
2
- 154986762992209058701440*e + 27347344067139574366944*e
+ 430203494102932512}
groebnerf({b + e + f - 1,
c + d + 2*e - 3,
b + d + 2*f - 1,
a - b - c - d - e - f,
d*e*a**2 - 1569/31250*b*c**3,
c*f - 587/15625*b*d});
5
{{144534461790680056924571742971580442350868*f
4
- 644899801559202566371326081182412388593750*f
2
- 5642454222593591361522253644740080176968509*e*f
3
+ 1026970650200404602876625225711718032483739*f
+ 60671378319336814425425106786936647125250*e*f
2
+ 12135463840178290842421221291430776956948795*f
+ 82342665293813692270756265387326300721851*e
- 6546572608747272255841866021042619274525791*f
- 455593441982762135422235490670177670637,
3 4
8282838608877853969*e*f - 2667985333760708531*f
2 3
- 315490964385538173*e*f - 8319462093247392142*f
2
- 25594942638053*e*f + 318993777538462620*f + 33851175608089*e
+ 34163367871142*f - 8568425233089,
2 2
587*e - 46875*e*f + 15038*f - 587*e + 47462*f,
a + 2*e - 4,
b + e + f - 1,
c + 3*e - f - 3,
d - e + f}}
% Example 5.
groesolve({u0**2 - u0 + 2*u1**2 + 2*u2**2 + 2*u3**2,
2*u0*u1 + 2*u1*u2 + 2*u2*u3 - u1,
2*u0*u2 + u1**2 + 2*u1*u3 - u2,
u0 + 2*u1 + 2*u2 + 2*u3 - 1},
{u0,u2,u3,u1});
1 1
{{u3=---,u0=---,u2=0,u1=0},
3 3
{u3=0,u0=1,u2=0,u1=0},
5 4 3 2
{u3=( - 35588322*u1 + 7102080*u1 + 3462372*u1 - 522672*u1
- 98665*u1 + 11905)/10987,
5 4 3 2
u0=(85796172*u1 - 47481552*u1 - 10265256*u1 + 4828462*u1
+ 414200*u1 - 24707)/164805,
5 4 3 2
u2=(490926744*u1 - 82790424*u1 - 46802952*u1 + 5425849*u1
+ 1108070*u1 - 83819)/164805,
6 5 4 3 2
u1=root_of(24948*u1_ - 8424*u1_ - 1908*u1_ + 736*u1_ + 24*u1_
- 18*u1_ + 1,u1_)}}
% Example 6. (Big) Trinks problem with 6 polynomials in 6 variables.
torder lex;
gradlex
btbas :=
groebner({45*p + 35*s - 165*b - 36,
35*p + 40*z + 25*t - 27*s,
15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b**2,
-9*w + 15*p*t + 20*z*s,
w*p + 2*z*t - 11*b**3,
99*w - 11*b*s + 3*b**2},
{w,p,z,t,s,b});
btbas := {
17766149161458472422166115589155691471353640232570952361584640
*w +
3032932981764169411024286535087872715152793150994240000000000000
9
*b +
11886822444254795859791802829918904596379497649520730600000000000
8
*b
+
18842475008351431516615767365088235858572104823839818660000000000
7
*b
+
18478618789454571665641479626067848900525899492180377333740000000
6
*b
+
11752365113063961011548983119538614396423298749092231098450400000
5
*b
+
5110161259755495688253057699488605142801193206234091633443430000
4
*b +
1496961750963944475883560598484727796781670457510019079125319720
3
*b +
288690575257721822668492218552623049380964882774348400629792405
2
*b +
36675221781192845731725910375461662443650512572339688148737880
*b +
1576363174251807401047861085627012261518448811764870474808048
,
1079293561558602199646591522041208256884733644128685355966266880
*p +
3268477702530974927415861070452491173139572636038856000000000000000
9
*b +
12885633343818230635528913313274512975854362843839764665000000000000
8
*b +
20548731096300848092222002490748474767709483225818633322500000000000
7
*b +
20182049540868333737979937480097593847242554499522522583343500000000
6
*b +
12840592651209104850152262711039251760751322701157046861979660000000
5
*b +
5569707184558884260455460870514004047533638259197462099687709750000
4
*b +
1626104523905067336734029117969017435050069455164231436772691393000
3
*b +
317837165064133808425156860561547977935248864650364953213370433325
2
*b
+
38814916107963233682867824475195786374043607759221055124383464600
*b +
1271557117681971715777755868970298734422034654142333039426477936
,
79947671226563125899747520151200611621091381046569285627130880
*z -
207000360174268878618253807286221414267374039050881600000000000000
9
*b
-
816930976846005632807581869594187232031930825060787069000000000000
8
*b
-
1304191848597021137419209873493260430019068809677834324500000000000
7
*b -
1281648951757969533154633755921969360988365079018184794999100000000
6
*b -
816111850476984294981540451378918253659030380648143145999676000000
5
*b
-
354123157925898223808181474698490366723104830470028121053590350000
4
*b
-
103524414072393919562685172085266423030522292688870620316927889800
3
*b
-
20314259597530323830287024948271996904872237353588201428371308545
2
*b
-
2537917907646239051588678539186026277776904294491429226344955896
*b -
101754994043218022355542895254001231074817584410141704072917808
,
53964678077930109982329576102060412844236682206434267798313344
*t -
232158787821822686686268803096828213303267879649894080000000000000
9
*b
-
914339994087255788035842922803409884324637299732580010200000000000
8
*b
-
1456553024942306848445635398194494646048613632462079804220000000000
7
*b -
1429773468085320579659912540829309032262384742022357855878580000000
6
*b -
908944691139155009098308941935669674404431611232759364790656800000
5
*b
-
394123305458525780887811122985868682566594060374758630590008810000
4
*b
-
114919063563435384108358931167592408356874179358918284670595993240
3
*b
-
22376181506466478409426169614162075694852682500804198791108921475
2
*b
-
2945714266609139709176973289117451707834537151497408879223183208
*b -
127343046946408668687682889109197718306724189305639804298381200
,
23984301367968937769924256045360183486327414313970785688139264
*s -
93385077215170712211881744870071176375416361029681600000000000000
9
*b
-
368160952680520875300826094664986085024410366966850419000000000000
8
*b
-
587106602751452802634914356878527850505985235023389523500000000000
7
*b
-
576629986881952392513712499431359824206930128557786359524100000000
6
*b
-
366874075748831567147207506029692907450037791461629910342276000000
5
*b
-
159134490987396693155870310586114401358103950262784631419648850000
4
*b
-
46460129254430495335257974799114783858573413004692326764934039800
3
*b
-
9081061858975251669290196016044227941007110418581855806096298095
2
*b -
1222066452390803097568723620648006189979646603457892421797898376
*b -
60999770483681527871286545331521866855137759127008037834271184
,
10 9
43808000000000000000*b + 189995300000000000000*b
8 7
+ 343169730200000000000*b + 377900184178000000000*b
6 5
+ 277427432368460000000*b + 141636786601439800000*b
4 3
+ 50921375336016834000*b + 12792266529459977340*b
2
+ 2215667232541084905*b + 237653554658069880*b
+ 8984801833047216}
hilbertpolynomial(ws,gvarslast);
10
% end of the classical Groebner test series
% Example of Groebner with numerical postprocessing
on rounded;
groesolve(trinkspolys,trinksvars);
{{t= - 0.981721*i - 0.922,
w=0.063015875*i - 0.0139,
z=0.541715416667*i - 0.122333333333,
p= - 0.685435833333*i + 0.196666666667,
s= - 0.9949875*i - 0.78,
b=-0.33 - 0.397995*i},
{t=0.981721*i - 0.922,
w= - 0.063015875*i - 0.0139,
z= - 0.541715416667*i - 0.122333333333,
p=0.685435833333*i + 0.196666666667,
s=0.9949875*i - 0.78,
b=-0.33 + 0.397995*i}}
off rounded;
% additional groebner operators
preduce(45*p + 35*s - 165*b - 36,btbas,{w,p,z,t,s,b});
0
gsplit(2*u0*u2 + u1**2 + 2*u1*u3 - u2,{u0,u1,u2,u3});
2
{2*u0*u2,u1 + 2*u1*u3 - u2}
gsort(trinkspolys,trinksvars);
3
{w*p + 2*z*t - 11*b ,
2
99*w - 11*s*b + 3*b ,
- 9*w + 15*p*t + 20*z*s,
2
15*w + 25*p*s + 30*z - 18*t - 165*b ,
35*p + 40*z + 25*t - 27*s,
45*p + 35*s - 165*b - 36,
2 33 2673
b + ----*b + -------}
50 10000
gspoly(first trinkspolys, second trinkspolys,trinksvars);
360*z + 225*t - 488*s + 1155*b + 252
gvars(trinkspolys);
{b,p,s,t,w,z}
% tagged basis and reduction trace
bas := groebner(trinkspolys,trinksvars)$
names := for i:= 1:length bas collect mkid(p,i);
names := {p1,
p2,
p3,
p4,
p5,
p6}
taggedbas := for i:= 1:length bas collect
part(names,i) = part(bas,i);
taggedbas := {p1=9500*b + 60000*w + 3969,
p2= - 3100*b + 1800*p - 1377,
p3=24500*b + 18000*z + 10287,
p4= - 1850*b + 750*t + 81,
p5= - 500*b + 200*s - 9,
2
p6=10000*b + 6600*b + 2673}
preducet(new=w*p + 2*z*t - 11*b**3,taggedbas,trinksvars);
0=9500*b*p2 + 392000*b*p4 + 118800*b*p6 + 108000000*new - 1800*p*p1
+ 3969*p2 - 12000*p3*t + 164592*p4 - 2943*p6
% representing the basis as combination of the input polynomials
groebnert({circle=x**2 + y**2 - r**2,line = a*x + b*y},{x,y});
{ - a*x - b*y= - line,
2 2 2 2 2 2
(a + b )*y - a *r =a *circle - a*line*x + b*line*y}
% dimension and independent sets
% example from Jarmo Hietarinta
eqsl:={ Q*AX - Q*LX - MX,
- Q*GX + AX - LX,
Q**2*BX + Q*CX - Q*JX - NX,
Q*( - Q*AX + Q*LX + MX),
Q*(Q*GX - AX + LX)}$
bas:= groebner(eqsl,{ax,bx,cx,gx,jx,lx,mx,nx,q});
bas := {ax - gx*q - lx,
bx*mx + cx*gx*q - gx*jx*q - gx*nx,
2
bx*q + cx*q - jx*q - nx,
2
gx*q - mx}
Gindependent_sets(bas,{ax,bx,cx,gx,jx,lx,mx,nx,q});
{{cx,jx,lx,mx,nx,q},{cx,gx,jx,lx,mx,nx},{bx,cx,gx,jx,lx,nx}}
Gdimension(bas,{ax,bx,cx,gx,jx,lx,mx,nx,q});
6
groesolve(bas,{ax,bx,cx,gx,jx,lx,mx,nx,q});
{{ax=gx*q + lx,
- cx*q + jx*q + nx
bx=---------------------,
2
q
2
mx=gx*q },
{ax=lx,mx=0,nx=0,q=0}}
clear eqsl,bas;
end;
(TIME: groebner 13316 14816)
End of Lisp run after 13.36+2.26 seconds